Question

对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点.

（1）当，时，求的不动点；

（2）若对于任何实数，函数恒有两相异的不动点，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若的图象上、两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的最小值.

Answer

（1）不动点是－1，2.（2）（3）

【解析】

（1）根据不动点定义,代入,,即可得一元二次方程,解方程即可求解.

（2）令,可得一元二次方程.根据有两个相异的实数根,可知对应判别式.即可得关于的不等式.再由对于任意实数恒成立,可知对应判别式即可求得的取值范围;

（3）根据题意可设,,即可求得直线的斜率.根据直线是线段的垂直平分线,可求得的值.设的中点为,由韦达定理可得,代入直线即可用表示出.结合基本不等式即可求得的取值范围,即可得的最小值.

∵

（1）当,时,

设为其不动点,即.

则.

∴,.

即的不动点是－1,2.

（2）由得.由已知,此方程有相异二实根,

恒成立,即.

即对任意恒成立.

∴,

∴,

∴.

（3）因为的图象上、两点的横坐标是函数的不动点,设,,

则

直线是线段的垂直平分线,

∴

记的中点.由（2）知,

∵在上,

∴.

化简得

（当且仅当时,等号成立）.

即.

因为,所以

综上可知

所以