Question

对于函数，若存在定义域中的实数，满足且，则称函数为“类” 函数.

（1）试判断，是否是“类” 函数，并说明理由；

（2）若函数，，为“类” 函数，求的最小值.

Answer

（1）不是.见解析（2）最小值为7.

【解析】

（1）不是，假设为类函数，得到或者，代入验证不成立.

（2），得到函数的单调区间，根据题意得到

，得到，得到答案.

（1）不是.

假设为类函数，则存在，使得，

则，或者，，

由，

当，时，有，，

所以，可得，不成立；

当，时，有，，

所以，不成立，

所以不为类函数.

（2），则在单调递减，在单调递增，

又因为是类函数，

所以存在，满足，

由等式可得：，则，

所以，

则，所以得，

从而有，则有，即，

所以，则，

由，则，

令，当时，，且，，且连续不断，由零点存在性定理可得存在，

使得，此时，因此的最小值为7.