Question

如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离；

（3）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）取中点，连接，根据已知条件，可证四边形为平行四边形，即可得证结论；

（2）点到平面的距离，即为点到平面的距离，求出，的面积，等体积法，即可求出结论；

（3）由（2）的结论，得出直线与平面所成的角，解直角三角形，即可求解.

（1）证明：取中点，连接，

∵为的中点，∴，且，

又，且，

∴，且，

则，且，

∴四边形为平行四边形，∴.

又∵平面.平面，

∴平面.

（2）取的中点，连接，∵，

∴且，∴四边形是矩形，

∴，又∵平面，∴，

∴平面且，

过点作平面于，

则即为点到平面的距离.

∵，∴，

，∴.

（3）连接由（2）知

即为直线与平面所成的角，

在中，，，∴，

又∵是的中点，

∴，

∴，

所以直线与平面所成角的正弦值为.