Question

如图，已知△中，∠=90°，，且=1，=2，△绕旋转至，使点与点之间的距离=．

（1）求证：⊥平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求异面直线与所成的角的余弦值．

Answer

（1）见详解；（2）60°；（3）．

【解析】

（1）∵CD⊥AB，∴CD⊥A′D，CD⊥DB，∴CD⊥平面A′BD，

∴CD⊥BA′．又在△A′DB中，A′D=1，DB=2，A′B=

，∴∠BA′D=90°，

即BA′⊥A′D，∴BA′⊥平面A′CD．

（2）∵CD⊥DB，CD⊥A′D，∴∠BDA′是二面角

A′—CD—B的平面角．又Rt△A′BD中，A′D=1，BD=2，

∴∠A′DB=60°，即 二面角A′—CD—B为60°．

（3）过A′作A′E∥BD，在平面A′BD中作DE⊥A′E于E，

连CE，则∠CA′E为A′C与BD所成角．

∵CD⊥平面A′BD，DE⊥A′E，∴A′E⊥CE．

∵EA′∥AB，∠A′DB=60°，∴∠DA′E=60°，又A′D=1，∠DEA′=90°，∴A′E=

又∵在Rt△ACB中，AC==∴A′C=AC=

∴cos∠CA′E===,即A′C与BD所成角的余弦值为．