Question

已知函数.

（1）若，判断函数的零点个数；

（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；

（3）已知R且，，求证：方程在区间上有实数根.

Answer

⑴见解析;⑵;⑶见解析.

【解析】

试题（1）利用判别式定二次函数的零点个数：（2）零点个数问题转化为图象交点个数问题，利用判别式处理即可；（3）方程在区间上有实数根，即有零点，结合零点存在定理可以证明.

试题解析：

⑴

,

当时，，函数有一个零点；

当时， ，函数有两个零点

⑵已知，

则对于恒成立,

即恒成立；

所以,

从而解得.

⑶设，

则

,

在区间上有实数根，

即方程在区间上有实数根.