Question

已知函数.

（1）当时，求的值域；

（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）先利用定义法判定的单调性，然后结合单调性可得值域；

（2）结合函数的奇偶性和单调性把不等式转化为二次不等式，然后结合恒成立问题可得.

设，则

，

因为，所以，即，又，

所以，所以在上是增函数.

（1）由上可知在区间上是增函数，

所以在区间上最小值为，最大值为，

因此的值域是.

（2）因为，所以在是上奇函数，

所以不等式对于任意恒成立，

等价于不等式对于任意恒成立，

因为在上是增函数，

所以问题等价于不等式对于任意恒成立，

即对于任意恒成立，

设，则的最小值为，所以，

所以的取值范围是.