Question

已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，若先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.

（1）求函数与的解析式；

（2）设函数，试判断在内的零点个数.

Answer

（1），；（2）见解析.

【解析】

（1）先根据周期和对称中心可以求得，结合图象变换可得的解析式；

（2）先把的表达式求出，结合的取值讨论零点个数.

（1）因为的周期为2，所以，

，又因为的图象的一个对称中心为，

所以，因为，所以，

所以，

所以.

（2）由（1）可知，，

设，因为，所以，则，

设，，则，

①当或时，在内有唯一零点，

这时，函数在内有两个零点.

②当时，在内有两个不等零点，

这时，函数在内有四个零点.

③当时，，由，得或，

这时，函数在内有三个零点.

④当时，，由，得或（舍），

这时，函数在内有两个零点.

综上可得，当或时，在内有两个零点；

当时，在内有三个零点；

当时，在内有四个零点.