Question

已知定义域为的单调函数是奇函数,当时,.

（1）求的解析式.

（2）若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）时利用可求的解析式，再利用奇偶性考虑与的关系，即可求出时的解析式，要注意时的情况；

（2）先分析单调性，因为题设已告诉函数单调，故取值直接比较即可；然后利用是奇函数对不等式进行变形，转变为两个函数值的大小关系，根据单调性可去掉函数符号变为自变量间的大小关系，最后化为关于的不等式恒成立的问题去处理.

(1) 当时, ，

∴，

又函数是奇函数，

∴，

∴．

又．

综上所述 ．

（2）∵为上的单调函数，且，

∴函数在上单调递减．

∵，

∴，

∵函数是奇函数，

∴．

又在上单调递减，

∴对任意恒成立，

∴对任意恒成立，

∴，

解得．

∴实数的取值范围为．