Question

已知函数，，其中，．当时，的最大值与最小值之和为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，记函数，求当时的最小值；

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）根据指数函数的单调性，最值在区间端点取得，根据最大值和最小值的和列方程，解方程求得的值.（II）化简，利用换元法转化为二次函数的形式.根据对称轴进行分类讨论，厚此求得最小值的表达式.

（Ⅰ）在上为单调函数，

的最大值与最小值之和为，

.

（Ⅱ）即

令，∵时，∴，

，对称轴为

当时，；

当时，；

当时，.

综上所述，