Question

已知直线l：y＝3x＋3，求：

(1)点P(4,5)关于直线l的对称点坐标；

(2)直线l₁：y＝x－2关于直线l的对称直线的方程；

(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．

Answer

(1) P′(－2,7);(2) 7x＋y＋22＝0;(3) 3x－y－17＝0.

【解析】

试题分析:(1) 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，列出方程组求出坐标即可;(2)法一:联立两直线方程求出交点坐标; 在直线l1：x－y－2＝0上任取一点(2,0)，过点(2,0)与直线l：3x－y＋3＝0垂直的直线方程为x＋3y＝2,联立两直线方程求出交点坐标;根据两个交点坐标利用两点式方程写出直线;法二: 在直线l1上任取一点P(x1，y1),根据点P关于直线l的对称点为Q(x′，y′), 列出方程组把P点坐标用x′，y′表示,又点P在直线l1上运动，代入整理即可;(3) 设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l′，根据直线平行设出方程, 任取y＝3x＋3上的一点(0,3)，则该点关于点A(3,2)的对称点一定在直线l′上，将解出的对称点代入直线方程,求出纵截距,可得直线方程.

试题解析:

(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，

即解得.

所以P′(－2,7)．

(2)法一：联立方程组解得

所以直线l1与l的交点为.

在直线l1：x－y－2＝0上任取一点(2,0)，过点(2,0)与直线l：3x－y＋3＝0垂直的直线方程为x＋3y＝2.

设直线x＋3y＝2与直线l的交点坐标为(x0，y0)，

则解得

即交点坐标为.

又点(2,0)关于点对称的点的坐标为，

所以过两点，的直线方程为＝，整理，得7x＋y＋22＝0.

则所求直线方程为7x＋y＋22＝0.

法二：在直线l1上任取一点P(x1，y1)(P∈l1)，设点P关于直线l的对称点为Q(x′，y′)，则

解得

又点P在直线l1上运动，所以x1－y1－2＝0.

所以－－2＝0，

即 7x′＋y′＋22＝0.

所以所求直线方程为7x＋y＋22＝0.

(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l′，

由l∥l′，设l′：y′＝3x′＋b.

任取y＝3x＋3上的一点(0,3)，则该点关于点A(3,2)的对称点一定在直线l′上，设其对称点为(x′，y′)．

则解得

代入y′＝3x′＋b，得b＝－17.

故直线l′的方程为y′＝3x′－17，

即所求直线的方程为3x－y－17＝0.