Question

已知，，函数.

（1）若，且，求的值；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程在上有两个不同的实数根，求正数的取值范围.

Answer

（1），，（2）（3）或或

【解析】

（1）由向量数量积的坐标运算及辅助角公式可得，再解方程即可；

（2）原命题可转化为，恒成立，再求实数的取值范围；

（3）原方程可以化为，则或，再讨论的取值范围使得方程有两个解即可.

【解析】
（1）由，，

又，则，

即，

又因为，则，或，

则或，

又，所以，.

（2）当时，，可得，

令，则，即恒成立，

则可得.

（3）可知函数在区间和上为增函数，在上为减函数，画出函数在上的图象.

原方程可以化为，则或，

①当时，则，要使得原方程有两个不同的实数解，只需，即，

②当时，则，可知原方程的根为，；

③当时，则，可知原方程有3个根，不符合题意；

④当时，，可知原方程的根为，；

⑤当时，则，可知原方程有3个根，不符合题意.

综上可知，当或或时，原方程有两个不同的根.