Question

已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x²＋9y²＝36有相同的焦点．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若点M在双曲线上，F₁，F₂为左、右焦点，且|MF₁|＋|MF₂|＝6，试判别△MF₁F₂的形状．

Answer

（1）； （2）钝角三角形.

【解析】

(1)设双曲线方程为，由题得且c=，解方程组即得双曲线的标准方程.(2) 不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2 ，求得|MF1|＝4，|MF2|＝2，|F1F2|＝2，再利用余弦定理判定△MF1F2为钝角三角形．

(1)椭圆方程可化为，焦点在x轴上，且c＝，

故设双曲线方程为，

则有解得a2＝3，b2＝2.

所以双曲线的标准方程为.

(2)不妨设M点在右支上，

则有|MF1|－|MF2|＝2 ，

又|MF1|＋|MF2|＝6，

故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，

又|F1F2|＝2，

因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，而

cos ∠MF2F1＝ ，

所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．