Question

如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱，是线段的延长线上一点，平面分别与相交于.

（1）求证：平面；

（2）求当为何值时，平面平面.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

(1)根据线面平行的性质证明即可.

(2)分别取线段的中点,再根据题意分析平面时的点,根据三角形的全等与相似的关系求得的长度即可.或者建立空间直角坐标系求解.

（1）因为,在平面外,则平面.

因为平面平面,

则,从而.

因为在平面外,所以平面.

（2）解法一：分别取线段的中点,则,

所以四点共面.

因为,则,所以.

因为,则.

若,则平面,从而平面平面.

此时,,则.

因为是边长为2的正三角形,则,

又,则,

从而,

所以当时,平面平面.

（2）解法二：如图,分别取的中点,以为原点,

直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系

由已知,,则点,

从而

设平面的法向量为,

由,得

取,则

设,则点,从而

设平面的法向量,

由,得

取,则.

因为平面平面,则,

得,,从而

所以当时,平面平面.