Question

如图，拋物线的顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上，过点作直线与拋物线相交于两点，且满足.

（1）求直线和拋物线的方程；

（2）当拋物线上一动点从点运动到点时，求面积的最大值.

Answer

（1）直线的方程为，抛物线方程为（2）

【解析】

(1)设直线的方程为,抛物线方程为,再联立方程利用韦达定理表达,继而求得直线的斜率与方程.

(2)根据当抛物线过点的切线与平行时,面积最大,利用导数的几何意义求解.或者设点,再表达出面积根据参数的范围分析面积表达式再求最值即可.

（1）据题意可设直线的方程为,

抛物线方程为

由,

得,.

设点,

则,.

所以

因为,

所以,解得

故直线的方程为,抛物线方程为.

（2）解法一：据题意,当抛物线过点的切线与平行时,面积最大

设点,因为,

由,所以.

此时,点到直线的距离.

由,得,.

所以

.

故面积的最大值为.

解法二：由,得,.

所以

.

设点,点到直线的距离为,

则,

当时,,此时点.

故面积的最大值为.