Question

已知中，内角、、的对边为、、，三角形外接圆的半径，证明：

（1）；

（2）.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）采用坐标法证明，方法是以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，表示出点和点的坐标，利用两点间的距离公式表示出，化简后即得到；

（2）作出三角形的外接圆，分角为锐角、直角、钝角三种情况讨论，构造直角三角形，利用同弧所对的圆周角相等结合锐角三角函数的定义以及诱导公式证明出，同理可证明出，进而得出结论.

（1）已知中，内角、、的对边为、、，

以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，

则，，

则，故得证；

（2）在中，设，，．

若为锐角，如下图所示，过点作的垂线交的外接圆于点，连接，则，

由同弧所对的圆周角相等可得，

由锐角三角函数的定义可得，，；

若为直角，则，，此时成立；

若为钝角，如下图所示：

过点作的垂线交的外接圆于点，连接，则，且，

由锐角三角函数的定义可得，，

.

同理可证明出，因此，.