Question

在直角坐标系中，已知倾斜角为的直线过点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，直线与曲线分别交于、两点．

（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若，求直线的斜率．

Answer

（1）直线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为；（2）.

【解析】

（1）由倾斜角为的直线过点，能求出直线的参数方程；曲线的极坐标方程化为，由此能求出曲线的直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得出关于的一元二次方程，列出韦达定理，利用的几何意义结合条件可得出关于的三角方程，求出的值，即可得出直线的斜率的值.

（1）倾斜角为的直线过点，直线的参数方程为（为参数），

在曲线的极坐标方程两边同时乘以得，

因此，曲线的直角坐标方程为；

（2）曲线的直角坐标方程可化为，

将直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程得，

整理得，，得.

设、两点在直线上对应的参数分别为、，由韦达定理得，，

，，即，所以，

解得满足，此时，

所以，，因此，直线的斜率为.