Question

如图，在三角形中，，，平面与半圆弧所在的平面垂直，点为半圆弧上异于的动点，为的中点.

（1）求证：；

（2）当三棱锥体积最大时，求锐二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据平面与平面垂直的性质,可得;圆的性质,易得,利用直线与平面垂直的判定可知平面,即可证明.

（2）根据题意,可知三棱锥体积最大时,点处在半圆弧的中点.建立空间直角坐标系.求得平面与平面的法向量,利用法向量即可求得二面角夹角的余弦值.

（1）证明：因为平面与半圆所在的平面垂直,交线为,又,

所以垂直于半圆所在平面,

又在半圆面内,故,

又为直径,点为半圆弧上一点,故,

且,因此平面,

又平面,所以；

（2）

三棱锥体积最大时,点处在半圆弧的中点,

建立如图所示空间直角坐标系,由题意知,

则,

设平面的一个法向得为,

由,

令,则,

故,

设平面的一个法向量为,,

由,令,则,

故,

此时

由图可知,二面角为锐二面角

所以二面角的余弦值为.