Question

已知函数.

（1）讨论的极值点的个数；

（2）当时，若存在实数，使得，求的最小值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）先求得函数的导函数.令,分离参数后构造函数,并求得,通过判断在各区间内的符号,判断的单调性及的取值情况.即可根据的取值情况,判断极值点的个数.

（2）将代入,并令,即可用表示出与,即可表示出.构造函数,并求得,结合的符号即可判断的单调性,进而求得的最小值.

（1）由题可知,

令,得,

记,则

当时,；时,；时,,

∴在上单调递减,在上单调递减,在上单调递增,

又

时,；

时,；

时,,

∴当时,函数有2个极值点；

当时,函数无极值点；

当时,函数有1个极值点；

（2）当时,设,

则,

∵,∴,即,

故,,

∴,,即.

令,

则,

∵与在均单调递增,

∴在均单调递增,且,

∴当时,,当时,,

∴在上单调递减,在上单调递增,

∴当时,取最小值,此时,

即的最小值为.