Question

在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是__________．

①存在点，使得平面平面；

②存在点，使得平面平面；

③若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得；

④的面积可能等于.

Answer

①②③

【解析】

当为直线与平面的交点时，①正确；平面，即可得②正确；计算出的条件，可得③正确；面积取得最小值，所以④不正确.

由正方体性质可得平面，平面，所以，

是平面内两条相交直线，所以平面，平面，

，同理可证，是平面内两条相交直线，

所以平面，平面，所以平面平面，

当为直线与平面的交点时，满足平面平面，所以①正确；

根据①证明方法同理可证：，

可以证得平面，平面，所以平面平面，

所以②正确；

设，，

当时，，得：，即时，满足，所以③正确；

，均为直角三角形，，

的最小值为，此时，面积取得最小值，

，的面积不可能等于，所以④说法错误.

故答案为：①②③