Question

已知集合.

（1）求证：函数；

（2）某同学由（1）又发现是周期函数且是偶函数，于是他得出两个命题：①集合中的元素都是周期函数；②集合中的元素都是偶函数，请对这两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；

（3）设为非零常数，求的充要条件，并给出证明.

Answer

（1）见解析（2）命题①正确.见解析（3）充要条件是或，见解析

【解析】

（1）通过计算证明，即可得证；

（2）根据函数关系代换，即可证明周期性，举出反例不是偶函数；

（3）根据充分性和必要性分别证明或.

（1）

∴

∴

（2）命题①正确.集合中的元素都是周期函数.

证明：若

则可得.

所以，从而，

所以为周期函数，命题①正确；命题②不正确.

如不是偶函数，但满足，这是因为

∴

∴

（3）若

则，

∴

∴

∴，可得∴

∴或

当或时

∴

所以的充要条件是或