Question

某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况，在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本，测量树苗高度（单位：cm）．经统计，高度均在区间[20，50]内，将其按[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，其中高度不低于40cm的树苗为优质树苗．

（1）已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区，部分数据如下2×2列联表所示，将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关？

（2）用样本估计总体的方式，从这批树苗中随机抽取4棵，期中优质树苗的棵数记为X，求X的分布列和数学期望．

	甲地区	乙地区	合计
优质树苗	5
非优质树苗		25
合计

附：K²＝，其中n＝a+b+c+d

P（K^2≥k0）	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer

（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关；（2）分布列见解析，EX＝1

【解析】

(1)补全列联表再求解k2对比表中的数据判断即可.

(2)易得从总体中随机抽1颗树苗为优质树苗的概率为,再利用二项分布求解即可.

（1）由题意知5a+0.04×2+0.07＝,解得a＝0.01．

样本中优质树苗的个数为100×（0.04+0.01）×5＝25,

所填表格为：

甲地区

乙地区

合计

优质树苗

5

20

25

非优质树苗

50

25

75

合计

55

45

100

k2＝≈16.5＞10.828,所以有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关．

（2）容量为100的样本中有25颗优质树苗,故可以认为从总体中随机抽1颗树苗为优质树苗的概率为,

所以X～B（4,）,P（X＝k）＝,k＝0,1,2,3,4,

所以X 的分布列为：

X

0

1

2

3

4

P

EX＝np＝4×＝1．