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如图,已知,为椭圆短轴的两个端点,且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程; (2...

如图,已知为椭圆短轴的两个端点,且椭圆的离心率为

1)求椭圆的方程;

2)若经过点的直线与椭圆的另一个交点记为,经过原点且与垂直的直线 记为,且直线与直线的交点记为,证明:是定值,并求出这个定值.

 

(1);(2)证明见解析,. 【解析】 (1)由已知可得关于a,b,c的方程组,求解a,b的值,则椭圆方程可求; (2)设M(,)(≠0),直线的斜率存在,设,与椭圆联立,根据根与系数有关系可得,,从而可得,则直线l1的方程,联立求得N的坐标,再由数量积的坐标运算可得是定值. (1)由题,,结合得, 所求椭圆为. (2)由题知直线的斜率存在,设, 联立椭圆方程得, ,, ∴, 直线,联立直线得, 所以, ∴是定值.
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如图,在棱长为2的正方体中,中点,中点,上一点,中点.

1)证明:平面

2)求四面体的体积.

 

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某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况,在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本,测量树苗高度(单位:).经统计,高度在区间内,将其按分成6组,制成如图所示的频率分布直方图,其中高度不低于的树苗为优质树苗.

附:

,其中

 

1)求频率分布直方图中的值;

2)已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区,部分数据如下列联表所示,将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有%的把握认为优质树苗与地区有关?

 

甲地区

乙地区

合计

优质树苗

5

 

 

非优质树苗

 

25

 

合计

 

 

 

 

 

 

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已知正项数列的前项和为

1)求数列的通项公式;

2)令,求数列的前项和.

 

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已知双曲线的左、右焦点为,过点的直线与双曲线的左支交于两点,的面积是面积的三倍,,则双曲线的离心率为______

 

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