Question

设函数f（x）＝|2x﹣3|+|x+2|

（1）求不等式f（x）≤5的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）≤a﹣|x|在区间[﹣1，2]上恒成立，求实数a的取值范围

Answer

（1）[0，2]；（2）

【解析】

(1)分段去绝对值再求解不等式即可.

(2)由题意可得可得|2x﹣3|+|x+2|+|x|≤a恒成立. g（x）＝|2x﹣3|+|x+2|+|x|,再分段去绝对值讨论g（x）的最大值即可.

（1）f（x）≤5即为|2x﹣3|+|x+2|≤5,

当x≥时,2x﹣3+x+2≤5,解得≤x≤2；

当﹣2＜x＜时,3﹣2x+x+2≤5,解得0≤x＜；

当x≤﹣2时,3﹣2x﹣x﹣2≤5,解得x∈．

可得不等式的解集为[0,2]；

（2）关于x的不等式f（x）≤a﹣|x|在区间[﹣1,2]上恒成立,可得|2x﹣3|+|x+2|+|x|≤a,

设g（x）＝|2x﹣3|+|x+2|+|x|,即g（x）＝x+2+|x|+|2x﹣3|,﹣1≤x≤2,

当≤x≤2时,g（x）＝x+2+x+2x﹣3＝4x﹣1；

当0＜x＜时,g（x）＝x+2+x+3﹣2x＝5；

当﹣1≤x≤0时,g（x）＝x+2﹣x+3﹣2x＝5﹣2x．可得g（x）的最大值为g（﹣1）＝g（2）＝7,可得a≥7．

即a的范围是．