Question

如图，已知，为椭圆短轴的两个端点，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若经过点的直线与椭圆的另一个交点记为，经过原点且与垂直的直线 记为，且直线与直线的交点记为，证明：是定值，并求出这个定值．

Answer

（1）；（2）证明见解析，．

【解析】

（1）由已知可得关于a，b，c的方程组，求解a，b的值，则椭圆方程可求；

（2）设M（，）（≠0），直线的斜率存在，设，与椭圆联立，根据根与系数有关系可得，，从而可得，则直线l1的方程，联立求得N的坐标，再由数量积的坐标运算可得是定值．

（1）由题，，结合得，

所求椭圆为．

（2）由题知直线的斜率存在，设，

联立椭圆方程得，

，，

∴，

直线，联立直线得，

所以，

∴是定值.