Question

已知函数，．

（1）若存在极大值，证明：；

（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）．（x∈（0，+∞））．对a分类讨论，即可得出单调性极值．进而证明结论．

（2）令h（x）=f（x）+ex-1-1=lnx-ax+a+ex-1-1，x∈[1，+∞），h（1）=0．，，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性、极值与最值即可得出．

（1）

当时，，单调递增，不存在极大值，

所以，在上单调递增，在上单调递减，

的极大值为．

设，，

在上单调递减，在上单调递增，．

所以的极大值大于等于0．

（2）设，

，，

所以单调递增，

由知在上单调递减，在上单调递增，

，，

若，则，在恒成立，

此时，函数在上单调递增，，满足条件．

若，则，所以存在使得，

即在内，有，在上单调递减，

不满足条件．

综上，．