Question

设函数.

（Ⅰ）当，时，恒成立，求的范围；

（Ⅱ）若在处的切线为，且方程恰有两解，求实数的取值范围.

Answer

（I） （II）

【解析】

试题（1）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得最小值大于等于0即可；（2）根据切线得到，，方程有两解，可得，所以有两解，令，研究这个函数的单调性和图像，使得常函数y=m，和有两个交点即可.

解析：

由，

当时，得.

当时，，且当时，，此时.

所以，即在上单调递増，

所以，

由恒成立，得，所以.

（2）由得

，且.

由题意得，所以.

又在切线上.

所以.所以.

所以.

即方程有两解，可得，所以.

令，则，

当时，，所以在上是减函数.

当时，，所以在上是减函数.

所以.

又当时，；且有.

数形结合易知：.