Question

已知函数．

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）若恒成立，求a的取值范围；

（3）已知，证明．

Answer

（1）在区间单调递增，单调递减 （2） （3）证明见解析

【解析】

（1）当时，，分析出的正负，从而得的单调区间；

（2）由已知分离变量得恒成立．设，则，对 求导，分析出的正负，从而得的单调区间和最值，可得a的取值范围；

（3）欲证，两边取对数，转化为，由（2）可知的单调性，可得证．

由题意可知，函数的定义域为：且，

（1）当时，，

若，则；若，则，

所以函数在区间单调递增，单调递减．

（2）若恒成立，则恒成立．

又因为，所以分离变量得恒成立．

设，则，所以．

当时，；当时，，

即函数在上单调递增，在上单调递减．

当时，函数取最大值，，所以.

（3）欲证，两边取对数，可得，

由（2）可知在上单调递增，且所以，命题得证．