Question

三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，平面.若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是________.

Answer

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【解析】

可判断该三棱柱为直三棱柱且底面为等腰直角三角形，根据球的表面积求得球的半径，再把三棱柱补成一个长方体，其对角线的长即为球的直径，从求出棱柱的高后可求棱柱的体积.

因为，故，故为等腰直角三角形.

又平面，故三棱柱为直棱柱，

把直棱柱补成如图所示的长方体，则该长方体的外接球与三棱柱的外接球为同一个球，

故，为球的半径.

因为球的表面积为，故，故.

所以，所以，故.

所以.

故答案为：.