Question

已知二次函数（为常数），对任意实数都成立，且.

（1）求的解析式；

（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）先根据可得，再根据恒等式可求，从而求得的解析式.

（2）关于的不等式在区间上恒成立可化为区间上恒成立， 求出的最小值后可得实数的取值范围.

（1）由题意可知，，解得.

由，可知

化简得：.

因为上式对任意的实数恒成立，所以解得，

所以.

（2）由在上恒成立，即在上恒成立.

令，只需，

又在单调递减，

所以，

所以，即取值范围为.