Question

已知能表示成一个奇函数和一个偶函数的和.

（1）请分别求出与的解析式；

（2）记，请判断函数的奇偶性和单调性，并分别说明理由.

（3）若存在，使得不等式能成立，请求出实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）由函数方程组可求与的解析式.

（2）利用奇函数的定义和函数单调性定义可证明为奇函数且为上的增函数.

（3）根据（2）中的结果可以得到在上有解，参变分离后利用换元法可求的取值范围.

（1）由已知可得，则，

由为奇函数和为偶函数，上式可化为，

联合，

解得.

（2）由（1）得定义域为，

①由，可知为上的奇函数.

②由，

设，则，

因为，故，，

故即，故在上单调递增

（3）由为上的奇函数，

则等价于

，

又由在上单调递增，则上式等价于，

即，

记，令，

可得，易得当时，即时，

由题意知，，故所求实数的取值范围是.