Question

已知函数(且)是定义在上的奇函数.

(1)求实数a的值;

(2)判断并用定义证明在上的单调性;

(3)当时,恒成立,求实数m的取值范围.

Answer

(1)1;(2)在上是单调增函数,证明见解析;(3).

【解析】

（1）根据解出，再验证为奇函数即可；

（2）根据定义证明即可；

（3）将不等式化为，令，继续化为，再根据基本不等式可得结果.

(1)函数(且)是定义在上的奇函数,

∴,解得;

∴,满足是奇函数,

∴实数a的值为1;

(2),是定义域内的单调增函数,证明如下;

任取,且,

则,

由,得,∴,

∴,即,

∴在上是单调增函数;

(3)当时,,

不等式恒成立,化为,

设,则,

∴,

设,当且仅当,即时取“=”,

∴,

∴实数m的取值范围是.