Question

已知函数.

(1)当时,求函数的零点;

(2)当,求函数在上的最大值;

(3)对于给定的正数a,有一个最大的正数,使时,都有,试求出这个正数,并求它的取值范围.

Answer

(1);(2);(3),.

【解析】

（1）根据函数零点的定义可解得；

（2）先对分和两种情况讨论，然后对再分和两种情况讨论，结合二次函数可求得；

（3）因为时,,故问题只需在给定的区间内恒成立,再按照 和两种情况分类讨论，即可得到结论.

(1)令，得,

当时,方程化简为:,

解得: (舍去)或(舍),

当时,方程化简为:,

解得:(舍去),或,

∴.

(2)当时，因为，所以在时取得最大值1；

当时，，其对称轴为，

若，即时，在上的最大值为，

若即时，在上的最大值为，

综上所述：函数在上的最大值为

(3)∵当时,,故问题只需在给定的区间内恒成立,

由,分两种情况讨论:

当时,即时,

是方程的较小根

当时,即时,

是方程的较大根,

综上,且.