Question

已知函数f(x)＝x³(a＞0，且a≠1)．

（1）讨论f(x)的奇偶性；

（2）求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．

Answer

（1）函数f(x)是偶函数（2）∈(1，＋∞)

【解析】

（1）先求函数f(x)的定义域，再判断f(－x)与f(x)是否相等即可得到结果；（2）由f(x)是偶函数可知只需讨论x＞0时的情况，则有x3＞0，从而求得结果.

（1）由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，

∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．

对于定义域内任意x，有

f(－x)＝(－x)3

＝(－x)3

＝(－x)3

＝x3＝f(x)，

∴函数f(x)是偶函数．

（2）由（1）知f(x)为偶函数，

∴只需讨论x＞0时的情况，当x＞0时，要使f(x)＞0，

则x3＞0，

即＋＞0，

即＞0，则ax＞1.

又∵x＞0，∴a＞1.

∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.