Question

已知数列的前项和为，，（且），数列满足：，且（且）.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求证：数列为等比数列；

（Ⅲ）求数列的前项和的最小值.

Answer

（1）（2）见解析（3）

【解析】

试题（1）由得，所以。（2） （） （）

所以（）且。所以得证。（3）

（Ⅱ）得所以 ，所以是递增数列

和最小，即所有的负数项的和，只需求到。

试题解析：（Ⅰ）由得

即（且）

则数列为以为公差的等差数列

因此

（Ⅱ）证明：因为（）

所以（）

（）

（）

所以（）

因为

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得

所以

（）

所以是递增数列.

因为当时，，当时，

当时，

所以数列从第3项起的各项均大于0，故数列的前2项之和最小.

记数列的前项和为，则 .