Question

已知函数（）

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）若且存在两个极值点，记作，，若，求a的取值范围；

（3）求证：当时，（其中e为自然对数的底数）

Answer

（1）答案不唯一，见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；

（2）求出，，得到的解析式，问题转化为，令，，所以，令，根据函数的单调性判断即可；

（3）问题转化为证明，即证，设，根据函数的单调性证明即可．

【解析】
（1）

（※）

当时，，，函数在上是增函数

当时,由得,解得（舍去）

所以当时,,从而,函数在上是减函数;

当时,,从而,函数在上是增函数

综上，当时,函数在上是增函数;

当时,函数在上是减函数,在上是增函数

（2）由（1）知,当时,,函数无极值点

若存在两个极值点,又由为正数必有，由（1）极值点为,

依题意即化为,得

所以的取值范围是

由（※）式得

不等式化为

令所以

当时,,,,所以,不合题意

当时,,

所以在上是减函数,所以,适合题意,即

综上,a的取值范围是.

（3）当时,

不等式可化为，即证.

设,则在上,,是减函数;在上,,是增函数,所以,

设,则是减函数,所以,

所以，即所以当时，不等式