Question

如图，轴，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，

（1）求点的轨迹方程.

（2）过点作直线与点的轨迹相交于、两点，使点被弦平分，求直线的方程．

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）设，,所以，,，，代入圆的方程得到轨迹方程，抠掉不满足题意的点即可；（2）设出直线的方程为，联立直线和椭圆，根据韦达定理列式即可.

（1）解析:设，则,,，

∵,所以

∵∴①

∵在圆上，∴，代入①得

,∴,

∴.

（2）

由题意知直线的斜率存在，过点，

设直线的方程为，设，联立得，

∵点在椭圆内部，∴不论取何值，必定有.由韦达定理知

∵的中点是，∴，即，解得，

∴直线的方程为.