Question

已知以为焦点的椭圆过点.

（1）求椭圆方程.

（2）设椭圆的左顶点为，线段的垂直平分线交椭圆于两点，求的面积.

Answer

(1)；(2)

【解析】

（1）设出椭圆方程，由焦点坐标、椭圆上的一点坐标，列方程求解即可；

（2）先求出点M、N的坐标，根据三角形面积公式即可求得.

（1）设椭圆方程为：，

因为其焦点为，则

； ①

又因为椭圆过点，则点P的坐标满足椭圆方程：

②

结合： ③，

由①②③可解得：

，故椭圆方程为：.

（2）由题意，作图如下：

由（1）可知，椭圆的左顶点坐标为，又，

故线段的垂直平分线的方程为：，

即，

又因为M、N均为垂直平分线与椭圆的交点，故当时，

求得：，解得，

综上所述：点M坐标为，点N坐标为

由此解得： ①

又点P的坐标为，则点P到直线MN的距离

②

故.