Question

已知数列满足，对任意，都有成立.

（1）直接写出的值.

（2）推测出通项公式并证明.

Answer

(1)；(2)，证明见详解.

【解析】

（1）由递推公式，赋值即可求得；

（2）归纳总结后，用数学归纳法证明即可.

（1）由，以及，

令，可得：，

令，可得：，

令，可得：.

（2）由（1），归纳猜想：，

下面应用数学归纳法进行证明：

①当时，，满足题意，故成立；

②假设当成立，即

故当时：

=

=

故时，等式成立，

由①②可知，对任意自然数等式都成立，故