Question

设等差数列的前项和为，已知，且.

（1）求的通项公式.

（2）设，数列的前项和为，求使不等式成立的最小的正整数.

（3）设.若数列单调递增.

①求的取值范围.

②若是符合条件的最小正整数，那么中是否存在三项依次成等差数列?若存在，给出的值.若不存在，说明理由.

Answer

(1)；(2)；(3)不存在，证明见详解.

【解析】

（1）计算基本量，写出通项公式；

（2）由（1）中的，求得以及，进而求解不等式即可；

（3）①由，即可求得；②采用反证法，推证矛盾.

（1）设的公差为，因为故：，

又，解得：，故该数列通项公式为：

（2）由，可得：，，

故=

则 =

= =

=

=

若使得其满足 ，且为正整数，故解得：

，故取使得不等式成立.

（3）由（1）可知=

①因为数列为增数列，故恒成立

等价于：

整理得：，

即：恒成立，又，

故，即.

②由①可知，此时, 故,

假设存在三项依次成等差数列，则

，即： ①

因为，且均为整数，故：

，，

故：，即

②

又因为 ③

由②③可得：

，与①矛盾，

故假设不成立，即不存在三项依次成等差数列.