Question

已知函数.

（1）若，求函数的最小值；

（2）若对于任意恒成立，求的取值范围；

（3）若，求函数的最小值.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）时，当时取得最小值

（2）将不等式平方得，然后只需求出左边的最小值即可

（3）图象分别是以和为项点的开口向上的V型线，且两条射线的斜率为，然后分7种情况讨论这两个函数的位置关系

（1）因为，所以，

所以当时，的最小值为1；

（2）因为对任意恒成立，

所以对任意恒成立，

所以，

即对任意恒成立，

所以，解得：，

所以；

（3），

图象分别是以和为项点的

开口向上的V型线，且两条射线的斜率为，

当时，即，所以，

此时令，所以.

若，，此时恒成立，

所以，此时为图中红色部分图象，

对应如下图：

若，令，

即，所以.

所以，

此时为图中红色部分图象，对应如下图：

当时，即，所以，

此时令，所以，

若时，，令，

即，所以，

所以，

此时为图中红色部分图象，对应如下图：

若时，，此时恒成立，

所以，此时为图中红色部分图象，

对应如下图：

当时，则，所以，所以恒成立，

令，即，所以，

当时，，

若时，则，

所以，此时为图中红色部分图象，

对应如下图：

若时，则，

所以，此时为图中红色部分图象，

对应如下图：

若，则，

所以，此时为图中红色部分图象，

对应如下图：

综上所述：的最小值为