Question

已知函数在处的切线与直线垂直.

（1）求函数（为的导函数）的单调递增区间；

（2）记函数，设，是函数的两个极值点，若，证明：.

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】试题（1）由题意求得，根据，求得，进而利用，即可求解函数的单调递增区间；

（2）由，求得，根据是的两个极值点，转化为方程的两个根，得出，得到，令，即可证明结论.

试题解析

（1）由题意可得：，，可得：；

又，所以 ；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；故函数的单调增区间为.

（2）， ，

因为，是的两个极值点，故，是方程的两个根，由韦达定理可知：

，，可知，又，

令，可证在递增，由，从而可证.