Question

在数列中，，，设，

（Ⅰ）求证数列是等差数列，并求通项公式；

（Ⅱ）设，且数列的前项和，若，求使恒成立的的取值范围.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据题中所给的条件，取倒数，即可证明，注意利用等差数列的定义和通项公式；

（Ⅱ）用错位相减法求和，之后将恒成立问题转化为最值来处理即可得结果.

证法一：【解析】
（Ⅰ）由条件知，，

所以，，所以，

又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列，

故数列的通项公式为：.

证法二：由条件，得

又，所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列，

故数列的通项公式为：.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

则，①

②

由①-②得，

∴

∵，∴恒成立，等价于对任意恒成立.

∵，

∴.