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已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求k的值...

已知函数f(x)log4(4x1)kx(k∈R)是偶函数.

(1)k的值;

(2)g(x)log4,若函数f(x)g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.

 

(1)k=-.(2){-3}∪(1,+∞). 【解析】 (1)由函数f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x), ∴log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx. log4=-2kx,即x=-2kx对一切x∈R恒成立,∴k=-. (2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即方程log4(4x+1)-x=log4有且只有一个实根,化简得方程2x+=a·2x-a有且只有一个实根.令t=2x>0,则方程(a-1)t2-at-1=0有且只有一个正根. ①a=1t=-,不合题意;②a≠1时,Δ=0a=或-3.若a=t=-2,不合题意,若a=-3t=;③a≠1时,Δ>0,一个正根与一个负根,即<0a>1. 综上,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).  
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考点分析:
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已知函数是奇函数.

(1)求实数的值;

(2)设函数,是否存在非零实数,使得方程恰好有两个解?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.

 

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已知,函数.

(1) 当时,解不等式

(2)设,若对任意的及任意的,都有成立,求实数的取值范围.

 

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已知为常数且,函数满足,且关于的方程有两个相等的实根.

(1)求函数的值域;

(2)设集合,若,求实数的取值范围.

 

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已知函数.

(1)若函数的定义域为,求实数的取值范围;

(2)若函数的值域为,求实数的取值范围.

 

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计算:

(1) ;

(2).

 

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