Question

如图,在四棱锥中,底面是菱形,,,,底面,,点在棱上,且

（1）证明：面面;

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见证明；（2）

【解析】

方法一：（1）由题意，得出，再由菱形的性质，求得，由线面垂直的判定定理，证得面，进而利用面面垂直的判定定理，即可得到面面；

（2）连接OE,证得，得到是二面角的平面角，在中，即可求解.

法二：（1）以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，根据，得面，在面面垂直的判定定理，证得面面；

（2）分别求得平面和平面的法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）证明：∵面

∴

∵在菱形中，

且

∴面

故面面

（2）连接，则面面

故在面内的射影为

∵

∴

又由（1）可得，

故是二面角的平面角

菱形中，,

∴,

又 所以

故

∴ 即二面角的余弦值为

法二：（1）菱形中， 又面

故可以以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系

由 可知相关点坐标如下：

则平面的一个法向量为

因为 所以 故面

从而面面

（2）设，则

因为

所以

故

可得：

平面的一个法向量为

设平面的一个法向量

则 故

∴

即二面角的余弦值为