Question

已知函数.

（1）若函数的最大值是，求的值；

（2）已知，若存在两个不同的正数，当函数的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）对分类讨论，当时，令，根据二次函数的性质计算可得；

（2）令，则 ，即可判断函数的单调性，函数的定义域为时，的值域为，可转化为函数与有两个正交点，即有两个正根，即有两个大于1的根，再根据一元二次方程的根的分布得到不等式组，即可解得.

【解析】
（1）当时，，不合题意；

时，令，

设，则.

①若开口向上没有最大值，故无最大值，不合题意；

②当时，且此时对称轴，函数的最大值是，

所以，

解得或（舍），

所以.

（2）当时，设，则的对称轴，

所以当时为增函数，即为增函数.

所以函数的定义域为时，的值域为，

可转化为函数与有两个正交点，

即有两个正根.

即，设，

所以，

即有两个大于1的根.

所以解得，

所以实数的取值范围是.