Question

如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，是的中点，，，.

（1）求证：；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）.

【解析】

（1）通过证明线面垂直：平面，得到线线垂直；

（2）连接交与点，连接，借助三角形的中位线完成证明；

（3）先计算出三棱锥以外的三棱锥的体积，然后即可计算出三棱锥的体积.

（1）因为，所以，

所以，所以，

又因为三棱锥的侧棱垂直于底面，所以，且，

所以平面，

又因为平面，所以；

（2）如下图所示，连接，连接，

因为几何体是三棱柱，所以四边形是平行四边形，

所以为的中点，

又因为是的中点，所以，

又因为平面，平面，

所以平面；

（3）因为，，

，，

所以.