Question

已知函数（，为自然对数的底数）.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）判断函数单调性并证明；

（3）对任意不等式恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）奇函数，证明见详解；（2）增函数，证明见详解；（3）.

【解析】

（1）先判断函数的定义域，然后再分析之间的关系，从而判断出的奇偶性；

（2）利用定义法证明的单调性即可；

（3）根据函数的奇偶性将不等式变形，再根据函数的单调性将函数值的不等关系转变为自变量的不等关系，再根据恒成立的思想求解出的取值范围.

（1）因为的定义域为，关于原点对称，

又因为，所以是奇函数；

（2）是上的增函数，证明如下：

任取且，

所以

，

因为，所以，所以，所以，

所以是上的增函数；

（3）因为为奇函数且，

所以，

又因为是上的增函数，所以，

所以对成立，

所以，所以，

所以.