Question

已知二次函数满足以下条件：①；②对任意的，都有.

（1）求的解析式；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据确定函数的对称轴，由二次函数对称轴和可构造方程求得，进而得到函数解析式；

（2）将问题转化为在上恒成立问题的求解；分别在和两种情况下，根据二次函数的单调性确定最小值点，利用可构造不等式求得结果.

（1） 关于对称，又

，解得：

（2）由得：

令

①当，即时，在上单调递增

②当即时，在上单调递减，在上单调递增

综上所述：的取值范围为