Question

已知四棱锥的底面ABCD是菱形，平面ABCD，，，F，G分别为PD，BC中点，.

 

（Ⅰ）求证：平面PAB；

（Ⅱ）求三棱锥的体积；

（Ⅲ）求证：OP与AB不垂直.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）连接，，由已知结合三角形中位线定理可得平面，再由面面平行的判断可得平面平面，进而可得平面；

（Ⅱ）首先证明平面，而为的中点，然后利用等积法求三棱锥的体积；

（Ⅲ）直接利用反证法证明与不垂直.

（Ⅰ）如图，连接，

∵是中点，是中点，

∴，而平面，平面，

∴平面，

又∵是中点，是中点，

∴，而平面，平面，

∴平面，又

∴平面平面，即平面.

（Ⅱ）∵底面，

∴，又四边形为菱形，

∴，又，

∴平面，而为的中点，

∴.

（Ⅲ）假设，又，且，

∴平面，则，与矛盾，

∴假设错误，故与不垂直.