Question

已知点 ，圆： ，过的动直线与⊙交两点，线段中点为， 为坐标原点．

（1）求点的轨迹方程；

（2）当时，求直线的方程以及△面积．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）直线的方程为3x-y-8=0，△面积是

【解析】

试题（Ⅰ）圆C的方程可化为（x-4）2+y2=16，由此能求出圆心为C（4，0），半径为4，设M（x，y），求出向量CM，MP的坐标，由运用向量的数量积的坐标表示，化简整理求出M的轨迹方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知M的轨迹是以点N（3，-1）为圆心，为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，可得ON⊥PM，由直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由点斜式方程可得直线l的方程．利用点到直线距离公式结合已知条件能求出△POM的面积

试题解析：

（Ⅰ）圆C的方程可化为：，所以圆心C(4,0)半径为4．

设M（x,y）,则（x-4，y），则由条件知，

故（x-4）（2-x）+y（2-y）=0，即．由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知M的轨迹是以点N（3，1）为圆心，以为半径的圆．又，故O在线段PM的垂直平分线上，显然P在圆N上，从而ON⊥PM．KON=,所以直线的斜率为－3，故直线的方程为3x＋y-8=0.又=，O到的距离为，由勾股定理可得|PM|=,所以△面积是．